Когда возможны равенства. Свойства равенств, на которых основывается решение уравнений. Свойства числовых равенств

РАВЕНСТВА С КОЛИЧЕСТВАМИ.

После того, как ребёнок познакомится с карточками-количествами от 1 до 20, Вы можете добавить к первому этапу обучения второй этап - равенства с количествами.

Что такое равенство? Это арифметическое действие и его результат.

Вы начинаете этот этап обучения с темы «Сложение».

Сложение.

К показу двух наборов карточек-количеств Вы добавляете равенства на сложение.

Научить этой операции очень легко. Фактически Ваш ребёнок уже несколько недель готов к этому. Ведь каждый раз, когда Вы показываете ему новую карточку, он видит, что на ней появилась одна дополнительная точка.

Малыш ещё не знает, как это называется, но уже имеет представление о том, что это такое и как оно действует.

Материал для примеров на сложение у Вас уже есть на обратной стороне каждой карточки.

Технология показа равенств выглядит примерно так: Вы хотите дать ребенку равенство: 1 +2 = 3. Как его можно показать?

Перед началом урока положите себе на колени лицевой стороной вниз, одна на другую, три карточки. Поднимая верхнюю карточку с одной спицей-костяшкой, говорите «один», затем откладываете её, говорите «плюс», показываете карточку с двумя костяшками, произносите «два», откладываете её и после слова «будет», показываете карточку с тремя костяшками, произнося «три».

В день Вы проводите три занятия с равенствами и на каждом занятии показываете по три разных равенства. Итого, в день малыш видит девять разных равенств.

Ребёнок без всяких объяснений понимает, что означает слово «плюс», его значение он сам выводит из контекста. Производя действия, Вы тем самым быстрее всяких объяснений демонстрируете подлинный смысл сложения. Рассказывая о равенствах, всегда придерживайтесь одной и той же манеры изложения, употребляя одни и те же термины. Сказав «Один плюс два будет три», не говорите потом «К одному прибавить два будет три». Когда Вы учите ребёнка фактам, он сам делает выводы и постигает правила. Если Вы меняете термины, то ребёнок имеет все основания думать, что и правила тоже изменились.

Заранее готовьте все карточки, необходимые для того или иного равенства. Не думайте, что Ваш ребёнок будет спокойно сидеть и смотреть, как Вы будете рыться в стопке карточек, подбирая нужные. Он просто удерёт и будет прав, поскольку его время стоит не меньше Вашего.

Старайтесь не составлять равенства, которые бы имели нечто общее и позволяли бы ребёнку предугадывать их заранее (такие равенства можно будет использовать позже). Вот пример таких равенств:

Гораздо лучше использовать такие:

1 +2 = 3 5+6=11 4 + 8 = 12

Ребенок должен увидеть математическую суть, у него вырабатываются математические навыки и представления. Примерно через две недели малыш делает открытие, что такое сложение: ведь за это время Вы показали ему 126 разных равенств на сложение.

Проверка.

Проверка на данном этапе представляет собой решение примеров.

Чем отличается пример от равенства?
Равенство - это действие с показанным ребёнку результатом.

Пример - это действие, которое надо выполнить. В нашем случае, Вы показываете ребёнку два ответа, а он выбирает правильный, т.е. решает пример.

Пример Вы можете выложить после обычного занятия с тремя равенствами на сложение. Пример Вы показываете так же, как до этого демонстрировали равенство. То есть перекладываете карточки в руках, проговаривая каждую вслух. Например, «двадцать плюс десять будет тридцать или сорок пять?» и показываете малышу две карточки, одна из которых с правильным ответом.

Карточки с ответами нужно держать на одинаковом расстоянии от глаз малыша и не допускать никаких подсказывающих действий.

При правильном выборе ребёнка Вы бурно выражаете свой восторг, целуете и хвалите его.

При ошибочном выборе ответа, не высказывая огорчения, Вы пододвигаете к малышу карточку с правильным ответом и задаёте вопрос: «Будет тридцать, не правда ли?». На подобный вопрос ребёнок обычно отвечает утвердительно. Обязательно похвалите ребёнка за этот правильный ответ.

Ну а если из десяти примеров Ваш малыш верно решает хотя бы шесть, значит, Вам точно пора переходить к равенствам на вычитание!

Если Вы не считаете нужным проверять ребёнка (и правильно!), то через 10-14 дней всё равно переходите к равенствам на вычитание!

Рассмотрим -Вычитание.

Вы перестаёте заниматься сложением и полностью переключаетесь на вычитание. Проводите по три ежедневных урока с тремя различными равенствами в каждом.

Озвучиваете равенства на вычитание так: «Двенадцать минус семь будет пять».

При этом Вы одновременно продолжаете показывать карточки-количества (два набора, по пять карточек в каждом) тоже три раза в день. Итого, у Вас будет девять ежедневных очень коротких уроков. Так Вы работаете не более двух недель.

Проверка

Проверка так же, как и в случае со сложением, может представлять собой решение примеров с выбором одного ответа из двух.

Рассмотрим-Умножение.

Умножение - это не что иное, как многократное сложение, так что это действие не станет большим открытием для Вашего ребёнка. Поскольку Вы продолжаете изучение карточек- количеств (два набора по пять карточек в каждом), у Вас есть возможность составления равенств на умножение.

Озвучиваете равенства на умножение так: «Два умножить на три будет шесть».

Ребёнок поймет слово «умножить» так же быстро, как он понял до этого слова «плюс» и «минус».

Вы по-прежнему проводите в день по три урока, в каждом из которых - по три разных равенства на умножение. Такая работа продолжается не более двух недель.

Продолжайте избегать предсказуемых равенств. Например таких, как:

Необходимо постоянно держать своего ребёнка в состоянии удивления и ожидания чего-то нового. Главным для него должен стать вопрос: «Что дальше?»- и на каждом занятии он должен получать на него новый ответ.

Проверка

Решение примеров Вы проводите так же, как в теме «Сложение» и «Вычитание». Если малышу понравились игры-проверя-лочки с карточками-количествами, Вы можете продолжать играть в них, повторяя таким образом новые, большие количества.

Придерживаясь предложенной нами схемы, Вы к этому времени уже можете завершить первый этап обучения математике - изучите количества в пределах 100. Теперь настало время познакомиться с карточкой, которая больше всего нравится детям.

Рассмотрим-Понятие нуля.

Говорят, что математики уже пятьсот лет изучают идею нуля. Правда это или нет, но дети, едва познав идею количества, тут же понимают и смысл его полного отсутствия. Они просто обожают ноль, и Ваше путешествие в мир чисел будет неполным, если Вы не покажете малышу карточку, на которой вообще не будет никаких точек (т.е. это будет абсолютно пустая карточка).

Чтобы знакомство малыша с нулём прошло весело и интересно, можно сопроводить показ карточки загадкой:

Дома - семеро бельчат, На тарелке - семь опят. Все грибочки съели белки. Что осталось на тарелке?

Произнося последнюю фразу, показываем карточку «ноль».

Вы будете использовать её практически каждый день. Она пригодится Вам для операций сложения, вычитания и умножения.

Работать с карточкой «нуль» Вы можете одну неделю. Эту тему ребёнок осваивает быстро. Как и прежде, в течение дня, Вы проводите три занятия. На каждом занятии Вы показываете малышу по три различных равенства на сложение, вычитание и умножение с нулём. Итого у Вас получится девять равенств в день.

Проверка

Решение примеров с нулём проходит по знакомой Вам схеме.

Рассмотрим -Деление.

Когда Вы прошли все карточки-количества от 0 до 100, у Вас есть весь необходимый материал для примеров на деление с количествами.

Технология показа равенств данной темы прежняя. Каждый день Вы проводите три занятия. На каждом занятии Вы показываете малышу по три разных равенства. Хорошо, если прохождение этого материала не будет превышать двух недель.

Проверка

Проверка представляет собой решение примеров с выбором одного ответа из двух.

Когда Вы прошли все количества и знакомы с четырьмя правилами арифметики, то можете всячески разнообразить и усложнить свои занятия. Для начала покажите равенства, где ис- пользуется одно арифметическое действие: только сложение, вычитание, умножение или деление.

Затем - равенства, где сочетаются сложение и вычитание или умножение и деление:

20 + 8-10=18 9-2 + 26 = 33 47+11-50 = 8

Чтобы не запутаться в карточках, Вы можете сменить способ проведения занятий. Теперь не обязательно показывать каждую карточку спиц- костяшек, можно показывать только ответ, а сами действия лишь проговаривать. В результате Ваши занятия станут короче. Вы просто говорите ребёнку: «Двадцать два разделить на одиннадцать, разделить на два будет один», - и показываете ему карточку «один».

В этой теме можно использовать равенства, между которыми есть какая-либо закономерность.

Например:

2*2*3= 12 2*2*6=24 2*2*8=32

При сочетании в равенстве четырёх арифметических действий, помните, что умножение и деление должны быть вынесены в начало равенства:

Не бойтесь демонстрировать равенства, которых больше ста, например,

промежуточный результат в

42 * 3 - 36 = 90,

где промежуточный результат равен 126 (42 * 3 = 126)

Ваш малыш отлично с ними справится!

Проверка представляет собой решение примеров с выбором одного ответа из двух. Вы можете продемонстрировать пример, показав все карточки равенства и две карточки для выбора ответа или просто проговорить всё равенство, показав малышу лишь две карточки для ответа.

Помните! Чем дольше Вы занимаетесь, тем быстрее нужно вводить новые темы. Как только Вы заметили первые признаки невнимания ребёнка или скуки - переходите к новой теме. Спустя время Вы можете вернуться к прежней теме (но для знакомства с ещё не показанными равенствами).

Последовательности

Последовательности - это те же самые равенства. Опыт работы родителей с этой темой показал, что последовательности детям очень интересны.

Последовательности на плюс - это возрастающие последовательности. Последовательности на минус - убывающие.

Чем разнообразнее будут последовательности, тем они интереснее малышу.

Приведём несколько примеров последовательностей:

3,6,9,12,15,18,2 (+3)

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 (+4)

5,10,15,20,25,30,35 (+5)

100,90,80,70,60,50,40 (-10)

72, 70, 68, 66, 64, 62, 60 (-2)

95,80,65,50,35,20,5 (-15)

Технология показа последовательностей может быть такой. Вы подготовили три последовательности на плюс.

Объявляете малышу тему урока, на полу выкладываете одну за другой карточки первой последовательности, озвучивая их.

Перемещаетесь с ребёнком в другой угол комнаты и точно так же выкладываете вторую последовательность.

В третьем углу комнаты Вы выкладываете третью последовательность, при этом озвучивая её.

Выкладывать последовательности можно и друг под другом, оставляя между ними промежутки.

Старайтесь всегда идти вперёд, двигаясь от простого к сложному. Варьируйте занятия: иногда произнося вслух то, что Вы показываете, а иногда показывайте карточки молча. В любом случае ребёнок видит развёрнутую перед ним последовательность.

Для каждой последовательности нужно использовать не менее шести карточек, иногда больше, для того чтобы ребёнку легче было определить сам принцип последовательности.

Как только Вы увидели блеск в глазах ребёнка, попробуйте добавить к трём последовательностям пример (т.е. проверьте его знания).

Пример показываете так: сначала выкладываете всю последовательность, как Вы обычно это делаете, а в конце поднимаете две карточки (одна карточка - та, которая идёт следующей в последовательности, а другая - случайная) и спрашиваете ребёнка: «Какая следующая?»

На первых порах карточки в последовательностях выкладывайте друг за другом, затем формы выкладывания можно менять: кладите карточки по кругу, по периметру комнаты и т.д.

Когда будет получаться всё лучше и лучше, не бойтесь использовать в последовательностях умножение и деление.

Примеры последовательностей:

4; 6; 8; 10; 12; 14 - в данной последовательности каждое следующее число увеличивается на 2;

2; 4; 7; 14; 17; 34 - в данной последовательности чередуется умножение и сложение (х 2; + 3);

2; 4; 8; 16; 32; 64 - в данной последовательности каждое следующее число увеличивается в 2 раза;

22; 18; 14; 10; 6; 2 - в данной последовательности каждое следующее число уменьшается на 4;

84; 42; 40; 20; 18; 9 - в данной последовательности чередуется деление и вычитание (: 2; - 2);

Знаки «больше», «меньше»

Эти карточки находятся в составе 110 карточек цифр и знаков (вторая составляющая часть методики АНАСТА).

Уроки знакомства малыша с понятиями «больше-меньше» будут очень короткими. Всё, что Вам нужно, - это показать три карточки.

Технология показа

Садитесь на пол и выкладываете каждую карточку перед ребёнком так, чтобы он мог видеть сразу все три карточки. Каждую карточку называете.

Озвучить можно так: «шесть больше трёх» или «шесть больше, чем три».

На каждом занятии Вы показываете ребёнку по три разных варианта неравенств с

карточками «больше» - «меньше». неравенств в день.

Таким образом, Вы демонстрируете девять разных

Как и прежде, Вы показываете каждое неравенство только один раз.

Через несколько дней к трём показам можно добавить пример. Это уже проверка, и проводится она так:

Положите на пол приготовленные заранее карточки, например, карточку с количеством «68» и карточку со знаком «больше». Спросите малыша: «Шестьдесят восемь больше какого числа?» или «Шестьдесят восемь больше пятидесяти или девяносто пяти?». Предложите ребёнку выбрать из двух карточек нужную. Верно указанную малышом карточку, Вы (или он сам) кладёте после знака «больше».

Можно положить перед ребёнком две карточки с количествами и дать ему возможность выбрать знак, который подходит, то есть > или <.

Равенства и неравенства

Обучить равенствам и неравенствам так же просто, как и понятиям «больше» и «меньше».

Вам понадобятся шесть карточек с арифметическими знаками. Их Вы тоже найдёте в составе 110 карточек цифр и знаков (вторая составляющая часть методики АНАСТА).

Технология показа

Вы решили показать ребёнку такие два неравенства и одно равенство:

8-6<10 −7 11-3= 9 −1 55-12^50 −13

Вы выкладываете их на полу последовательно так, чтобы ребёнок мог видеть сразу каждое из них. При этом Вы всё проговариваете, например: «Восемь минус шесть не равно десять минус семь».

Точно так же Вы проговариваете во время выкладывания оставшиеся равенство и неравенство.

На начальном этапе обучения этой теме выкладываются все карточки.

Затем можно будет показывать только карточки «равно» и «не равно».

В один прекрасный день Вы даёте возможность малышу показать свои знания. Выкладываете карточки с количествами, а ему предлагаете выбрать, карточку с каким знаком надо положить: «равно» или «не равно».

Прежде, чем начать изучать алгебру с малышом,надо познакомить его с понятием переменной величины, представленной буквой.

Обычно в математике используется буква x, но поскольку ее легко спутать со знаком умножения, рекомендуется использовать y.

Вы кладете сначала карточку с пятью бусинками — костяшек, затем знак +плюс (+), после него со знаком y, потом знак равенства и, наконец, карточку с семью бусинками- костяшками. Затем вы ставите вопрос: «Что означает здесь у?»

И сами отвечаете на него: «В этом уравнении означает два»

Проверка:

Примерно через одну - полторы недели занятий на данном этапе, Вы можете дать возможность малышу выбрать ответ.

ЧЕТВЁРТЫЙ ЭТАП РАВЕНСТВА С ЦИФРАМИ И КОЛИЧЕСТВАМИ

Когда Вы прошли цифры от 1 до 20, настало время для «наведения мостов» между цифрами и количествами. Для этого есть множество способов. Одним из самых простых является использование равенств и неравенств, отношений «больше» и «меньше», демонстрируемых с помощью карточек с цифрами и костяшками.

Технология показа.

Возьмите карточку с цифрой 12, положите её на пол, затем положите рядом с ней знак «больше», а затем карточку-количество 10, проговаривая при этом: «Двенадцать больше десяти».

Неравенства (равенства) могут выглядеть следующим образом:

Каждый (равенств) день состоит из трёх занятий, а каждое занятие - из трёх неравенств количествами и цифрами. Общее количество ежедневных равенств будет равно девяти. При этом Вы одновременно продолжаете изучать цифры с помощью двух наборов по пять карточек в каждом, тоже три раза в день.

Проверка.

Можно предоставлять ребёнку возможность выбора карточек «больше», «меньше», «равно» или составлять пример таким образом, чтобы малыш сам мог его закончить. Например, кладём карточку-количество 7, затем знак «больше» и предоставляем ребёнку возможность закончить пример, то есть выбрать карточку-количество, например, 9 или карточку-цифру, например, 5.

После того, как малыш понял связь между количествами и цифрами, можно приступать к решению равенств, используя карточки как с цифрами, так и с количествами.

Равенства с цифрами и количествами.

Используя карточки с цифрами и количествами, Вы проходите уже знакомые темы: сложение, вычитание, умножение, деление, последовательности, равенства и неравенства, дроби, уравнения, равенства в два и более действий.

Если Вы внимательно посмотрите примерную схему обучения математике, (стр. 20) то увидите, что конца занятиям нет. Придумывайте свои примеры для развития устного счёта ребёнка, соотносите количества с реальными предметами (орехи, ложки для гостей, кусочки порезанного банана, хлеба и т.д.) - словом, дерзайте, творите, выдумывайте, пробуйте! И у Вас всё получится!

Класс: 3

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: открытие новых знаний.

Технология: технология развития критического мышления через чтение и письмо, игровая технология.

Цели: Расширить знания учащихся о равенствах и неравенствах, познакомить с понятием верных и неверных равенств и неравенств.

Дидактическая задача: Организовать совместную, самостоятельную деятельность учащихся по изучению нового материала.

Задачи урока:

1. Предметные :
   • познакомить с признаками равенства и неравенства; расширить представления учащихся о равенствах и неравенствах;
   • познакомить с понятием верного и неверного равенства и неравенства;
   • развитие навыков нахождения значения выражения, содержащего переменную;
   • формирование вычислительных навыков.
2. Метапредметные :
   1. Познавательные:
      • способствовать развитию внимания, памяти, мышления;
      • развитие умения извлекать информацию, ориентироваться в своей системе знаний и осознавать необходимость нового знания;
      • овладение приемами отбора и систематизации материала, уменими сопоставлять и сравнивать, преобразовывать информацию (в схему, таблицу).
   2. Регулятивные:
      • развитие зрительного восприятия;
      • продолжить работу над формированием действий самоконтроля и самооценки учащихся;
   3. Коммуникативные:
      • пронаблюдать над взаимодействием детей в парах, внести необходимые коррективы;
      • воспитывать взаимопомощь.
3. Личностные :
   • повышение учебной мотивации учащихся путем использования на уроке интерактивной школьной доски Star Board;
   • совершенствование навыков работы со Star Board.

Оборудование:

• Учебник «Математика» 3 класс, 2часть (Л.Г. Петерсон);
• индивидуальный раздаточный лист ;
• карточки для работы в парах;
• презентация к уроку, выведенная на панель Star Board;
• компьютер, проектор, панель Star Board.

Ход урока

I. Организационный момент.

И так, друзья, внимание.
Ведь прозвенел звонок
Садитесь поудобнее,
Начнем скорей урок!

II. Устный счет.

– Сегодня мы отправимся с вами в гости. Прослушав стихотворение, вы сможете назвать имя хозяйки. (Чтение стихотворение ученицей)

В веках математика овеяна славой,
Светило всех земных светил.
Ее царицей величавой
Недаром Гаусс окрестил.
Мы славим разум человека,
Дела его волшебных рук,
Надежду нынешнего века,
Царицу всех земных наук.

– И так, нас ждет Математика. В её царстве много княжеств, но сегодня мы посетим одно из них (слайд 4)

– Название княжества вы узнаете, решив примеры и расставив ответы в порядке возрастания. (Высказывание )

– Давайте вспомним, что такое высказывание? (Утверждение )

– Каким может быть высказывание? (Верным или неверным)

– Мы сегодня с вами будем работать с математическими высказываниями. Что к ним относится? (выражение, равенства, неравенства, уравнения)

III. Стадия 1. ВЫЗОВ. Подготовка к изучению нового.

(слайд 5 см. примечание)

– Княжна Высказывание предлагае вам первое испытание.

– Перед вами карточки. Найдите лишнюю карточку, покажите (а + 6 – 45 * 2).

– Почему она лишняя? (Выражение)

– Является ли выражение законченным утверждением? (Нет, не является, т.к. оно не доведено до логического завершения)

– А что такое равенство и неравенство, можно ли их назвать высказыванием?

– Назовите верные равенства.

– Как по-другому назвать верные равенства? (истинные)

– А неверные? (ложные)

– О каких равенствах нельзя сказать, что они истинные? (с переменной)

– Математика постоянно учит нас доказывать истинность или ложность наших высказываний.

IV. Сообщение цели урока.

– И сегодня мы должны узнать, что такое равенство и неравенство и научиться определять их истинность и ложность.

– Перед вами высказывания. Прочитайте их внимательно. Если вы считаете, его верным, то поставьте в первом столбике «+», если нет – «–».

Коллективная проверка с обоснованием своего предположения.

V. Стадия 2. ОСМЫСЛЕНИЕ. Изучение нового.

– Как мы можем проверить, верны ли наши предположения.

(учебник с. 74.)

– Что же такое равенство?

– Что же такое неравенство?

– Мы выполнили задание княжны Высказывание, и в награду она приглашает нас на праздник.

VI. Физкультминутка.

VII. Стадия 3. РЕФЛЕКСИЯ-РАЗМЫШЛЕНИЯ

1. с. 75, 5 (выведен на экран) (слайд 8)

– Прочитайте задание, что надо сделать?

– Сколько равенств подчеркнули? Проверим.

– Сколько неравенст?

– Что помогло выполнить задание? (знаки «=», «>», «<»)

– Почему остались не подчеркнутые записи? (выражения)

2. Игра «Молчанка» (слайд 9)

(Учащиеся на узких полосках записывают равенства и показывают учителю, затем проверяют себя).

Запиши в виде равенства высказывание:

• 5 больше 3 на 2 (5 – 3 = 2)
• 12 больше 2 в 6 раз (12: 2 = 6)
• х меньше у на 3 (у – х = 3)

3. Решение уравнений (слайд 10)

– Что перед нами? (уравнения, равенства)

– Можем ли мы сказать верные они или ложные? (нет, есть переменная)

– Как найти, при каком значении переменной верны равенства? (решить)

• 1 колонка – 1 столбик
• 2 колонка – 2 столбик
• 3 колонка – 3 столбик

Поменяйтесь тетрадями и проверьте работу своего товарища. Оцените.

VIII. Итог урока.

– С какими понятиями мы сегодня работали?

– Какими могут быть равенства? (ложными или истинными)

– Как вы думаете, только ли на уроках математики надо уметь отличать ложные высказывания от истинных? (Человек в своей жизни очень много сталкивается с различной информацией, и надо уметь отделять истинную от ложной).

IX. Оценивание работы учащихся и выставление отметок.

– За что нас может благодарить царица Математика?

Примечание. Если учитель использует интерактивную школьную доску Star Board, данный слайд заменяется карточками, набранными на доске. При проверке учащиеся работают на доске.

Два числовых математических выражения, соединенные знаком «=» называют равенством.

Например: 3 + 7 = 10 - равенство.

Равенство может быть верным и неверным.

Смысл решения любого примера состоит в том, чтобы найти та­кое значение выражения, которое превращает его в верное равенство.

Для формирования представлений о верных и неверных равенствах в учебнике 1 класса используются примеры с окошком.

Например:

Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность равенства вычислением.

Процесс сравнения чисел и обозначение отношений между ними с помощью знаков сравнения приводит к получению неравенств.

Например: 5 < 7; б > 4 - числовые неравенства

Неравенства также могут быть верными и неверными.

Например:

Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность неравенства.

Числовые неравенства получаются при сравнении числовых выражений и числа.

Например:

При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом, что отражается в выборе соответствующего знака:

10-2>7 5+К7 7 + 3>9 6-3 = 3

Возможен другой способ выбора знака сравнения - без ссылки на вычисления значения выражения.

Наппимеп:

Сумма чисел 7 и 2 будет заведомо больше, чем число 7, значит, 7 + 2 > 7.

Разность чисел 10 и 3 будет заведомо меньше, чем число 10, значит, 10 - 3 < 10.

Числовые неравенства получаются при сравнении двух числовых выражений.

Сравнить два выражения - значит сравнить их значения. Например:

При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значения выражений и сравнивает их, что отражается в выборе соответствующего знака:

Возможен другой способ выбора знака сравнения - без ссылки на вычисления значения выражения. Например:

Для постановки знаков сравнения можно провести такие рассуждения:

Сумма чисел 6 и 4 больше суммы чисел 6 и 3, поскольку 4 > 3, значит, 6 + 4 > 6 + 3.

Разность чисел 7 и 5 меньше, чем разность чисел 7 и 3, поскольку 5 > 3, значит, 7 - 5 < 7 - 3.

Частное чисел 90 и 5 больше, чем частное чисел 90 и 10, поскольку при делении одного и того же числа на число большее, частное получается меньшее, значит, 90: 5 > 90:10.

Для формирования представлений о верных и неверных равенствах и неравенствах в новой редакции учебника (2001) используются задания вида:

Для проверки используется метод вычисления значения выражений и сравнения полученных чисел.

Неравенства с переменной практически не используются в последних редакциях стабильного учебника математики, хотя в более ранних изданиях они присутствовали. Неравенства с переменными активно используются в альтернативных учебниках математики. Это неравенства вида:

 + 7 < 10; 5 -  > 2;  > 0;  > О

После введения буквы для обозначения неизвестного числа такие неравенства приобретают привычный вид неравенства с переменной:

а + 7>10; 12-d<7.

Значения неизвестных чисел в таких неравенствах находятся методом подбора, а затем подстановкой проверяется каждое подобранное число. Особенность данных неравенств состоит в том, что могут быть подобраны несколько чисел, подходящих к ним (дающих верное неравенство).

Например: а + 7 > 10; а = 4, а = 5 , а = 6 и т. д. - количество значений для буквы а бесконечно, для данного неравенства подхо­дит любое число а > 3; 12 - d < 7; d = 6, d = 7, d = 8, d = 9, d = 10, d = 11, d = 12 - количество значений для буквы d конечно, все значения могут быть перечислены. Ребенок подставляет каждое найденное значение переменной в выражение, вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом. Выбираются те значения переменной, при которых неравенство является верным.

В случае бесконечного множества решений или большого количества решений неравенства ребенок ограничивается подбором нескольких значений переменной, при которых неравенство является верным.

50. Свойства равенств, на которых основывается решение уравнений . Возьмем какое-нибудь уравнение, не очень сложное, например:

7x – 24 = 15 – 3x

x/2 – (x – 3)/3 – (x – 5)/6 = 1

Мы видим в каждом уравнении знак равенства: все то, что написано слева от знака равенства, называется левою или первою частью уравнения (в первом уравнении 7x – 24 является левою или первою частью, а во втором x/2 – (x – 3)/3 – (x – 5)/6 есть первая, или левая, часть); все то, что написано справа от знака равенства, называется правою или второю частью уравнения (15 – 3x есть правая часть первого уравнения, 1 является правою, или вторю, частью 2-го уравнения).

Каждая часть любого уравнения выражает собою некоторое число. Числа, выражаемые левою и правою частью уравнения, должны быть равны между собою. Нам ясно: если мы к каждому из этих чисел прибавим по одинаковому числу, либо вычтем из них по одинаковому числу, либо каждое из них умножим на одинаковое число, либо, наконец, разделим на одно и то же число, то результаты этих действий должны также быть равными между собою. Другими словами: если a = b, то a + c = b + c, a – c = b – c, ac = bc и a/c = b/c. По поводу деления следует, однако, иметь в виду, что в арифметике не имеется деления на нуль - мы не умеем, например, число 5 разделить на нуль. Поэтому в равенстве a/c = b/c число c не может быть равным нулю.

1. К обеим частям уравнения можно прибавить или из них вычесть по одинаковому числу.
2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, исключая случай, когда это число может оказаться равным нулю.

Пользуясь этими свойствами уравнения, мы можем найти удобный способ решать уравнения. Выясним этот случай на примерах.

Пример 1. Пусть надо решить уравнение

5x – 7 = 4x + 15.

Мы видим, что первая часть уравнения содержит два члена; один из них 5x, содержащий неизвестный множитель x, можно назвать неизвестным членом, а другой –7 – известным. Во второй части уравнения также 2 члена: неизвестный 4x и известный +15. Сделаем так, чтобы в левой части уравнения оказались только неизвестные члены (а известный член –7 уничтожился бы), а в правой части оказались бы только известные члены (а неизвестный член +4x уничтожился бы). Для этой цели прибавим к обеим частям уравнения одинаковые числа: 1) прибавим по +7 (чтобы уничтожился член –7) и 2) прибавим по –4x (чтобы уничтожился член +4x). Тогда получим:

5x – 7 + 7 – 4x = 4x + 15 + 7 – 4x

Сделав в каждой части уравнения приведение подобных членов, получим

Это равенство и является решением уравнения, так как оно указывает, что для x надо взять число 22.

Пример 2. Решить уравнение:

8x + 11 = 7 – 4x

Опять прибавим к обеим частям уравнения по –11 и по +4x, получим:

8x + 11 – 11 + 4x = 7 – 4x – 11 + 4x

Выполнив приведение подобных членов, получим:

Разделим теперь обе части уравнения на +12, получим:

x = –4/12 или x = –1/3

(первую часть уравнения 12x разделить на 12 – получим 12x/12 или просто x; вторую часть уравнения –4 разделить на +12 – получим –4/12 или –1/3).

Последнее равенство и является решением уравнения, так как оно указывает, что для x надо взять число –1/3.

Пример 3. Решить уравнением

x – 23 = 3 · (2x – 3)

Раскроем сначала скобки, получим:
x – 23 = 6x – 9

Прибавим к обеим частям уравнения по +23 и по –6x, – получим:

x – 23 + 23 – 6x = 6x – 9 + 23 – 6x.

Теперь, для того, чтобы впоследствии ускорить процесс решения уравнения, не будем сразу выполнять приведение всех подобных членов, а только заметим, что члены –23 и +23 в левой части уравнения взаимно уничтожаются, также члены +6x и –6x в первой части взаимно уничтожаются – получим:

x – 6x = –9 + 23.

Сравним это уравнение с начальным: вначале было уравнение:

x – 23 = 6x – 9

Теперь получили уравнение:

x – 6x = –9 + 23.

Мы видим, что в конце концов оказалось, что член –23, находившийся сначала в левой части уравнения, теперь как бы перешел в правую часть уравнения, причем у него переменился знак (в левой части начального уравнения был член –23, теперь его там нет, но зато в правой части уравнения имеется член + 23, которого там раньше не было). Так же точно в правой части уравнения был член +6x, теперь его там нет, но появился зато в левой части уравнения член –6x, которого раньше там не было. Рассматривая с этой точки зрения примеры 1 и 2, мы придем к общему заключению:

Можно любой член уравнения перенести из одной части в другую, меняя знак у этого члена (в дальнейших примерах мы будем этим пользоваться).

Итак, возвращаясь к нашему примеру, мы получили уравнение

x – 6x = –9 + 23

Разделим обе части уравнения на –5. Тогда получим:

[–5x: (–5) получим x] – это и есть решение нашего уравнения.

Пример 4. Решить уравнение:

Сделаем так, чтобы в уравнении не было дробей. Для этой цели найдем общего знаменателя для наших дробей – общим знаменателем служит число 24 – и умножим на него обе части нашего уравнения (можно, ведь, чтобы равенство не нарушалось, умножить на одно и то же число только обе части уравнения). В первой части 3 члена, причем каждый член является дробью - надо, следовательно, каждую дробь умножить на 24: вторая часть уравнения есть 0, а нуль умножить на 24 - получим нуль. Итак,

Мы видим, что каждая из наших трех дробей, благодаря тому, что она умножена на общее наименьшее кратное знаменателей этих дробей, сократится и сделается целым выражением, а именно получим:

(3x – 8) · 4 – (2x – 1) · 6 + (x – 7) · 3 = 0

Конечно, желательно все это выполнить в уме: надо вообразить, что, например, числитель первой дроби заключается в скобки и умножается на 24, после чего воображение поможет нам увидеть сокращение это дроби (на 6) и конечный результат, т. е. (3x – 8) · 4. Тоже имеет место и для остальных дробей. Раскроем теперь в полученном уравнении (в его левой части) скобки:

12x – 32 – 12x + 6 + 3x – 21 = 0

(обратим внимание, что здесь понадобилось двучлен 2x – 1 умножить на 6 и полученное произведение 12x – 6 вычесть из предыдущего, благодаря чему знаки членов этого произведения должны перемениться - выше и написано –12x + 6). Перенесем известные члены (т. е. –32, +6 и –21) из левой части уравнения в его правую часть, причем (как мы уже знаем) знаки этих членов должны перемениться - получим:

12x – 12x + 3x = 32 – 6 + 21.

Выполним приведение подобных членов:

(при навыке должно сразу выполняться и перенесение нужных членов из одной части уравнения в другую и приведение подобных членов), разделим, наконец, обе части уравнения на 3 - получим:

x = 15(2/3) - это и есть решение уравнения.

Пример 5. Решить уравнение:

5 – (3x + 1)/7 = x + (2x – 3)/5

Здесь две дроби, и их общий знаменатель равен 35. Умножим, чтобы освободить уравнение от дробей, обе части уравнения на общего знаменателя 35. В каждой части нашего уравнения 2 члена. При умножении каждой части на 35 должно каждый член умножить на 35 - получим:

Дроби сократятся - получим:

175 – (3x + 1) · 5 = 35x + (2x – 3) · 7

(конечно, можно было бы при навыке написать сразу это уравнение).

Выполним все действия:

175 – 15x – 5 = 35x + 14x – 21.

Перенесем все неизвестные члены из правой части (т. е. члены +35x и +14x) в левую, а все известные члены из левой части (т. е. члены +175 и –5) в правую - следует при этом не забывать у переносимых членов менять знак:

–15x – 35x – 14x = –21 – 175 + 5

(член –15x, как раньше был в левой части, так и теперь в ней остался - у него поэтому отнюдь не следует менять знака; аналогичное имеет место и для члена –21). Сделав приведение подобных членов, получим:

–64x = –191.

[Возможно сделать так, чтобы не было знака минус в обеих частях уравнения; для этого умножим обе части уравнения на (–1), получим 64x = 191, но этого можно и не делать.]
Разделим затем обе части уравнения на (–64), получим решение нашего уравнения

[Если умножили обе части уравнения на (–1) и получили уравнение 64x = 191, то теперь надо обе части уравнения разделить на 64.]

На основании того, что пришлось выполнять в примерах 4 и 5, мы можем установить: можно освободить уравнение от дробей - для этого надо найти общего знаменателя для всех дробей, входящих в уравнение (или наименьшее общее кратное знаменателей всех дробей) и на него умножить обе части уравнения - тогда дроби должны исчезнуть.

Пример 6. Решить уравнение:

Перенеся член 4x из правой части уравнения в левую, получим:

5x – 4x = 0 или x = 0.

Итак, решение найдено: для x надо взять число нуль. Если мы заменим в данном уравнении x нулем, получим 5 · 0 = 4 · 0 или 0 = 0, что указывает на выполнение требования, выражаемого данным уравнением: найти такое число для x, чтобы одночлен 5x оказался равен тому же самому числу, как и одночлен 4x.

Если кто-либо подметит с самого начала, что обе части уравнения 5x = 4x можно разделить на x и выполнит это деление, то получится явная несообразность 5 = 4! Причиною этого является то обстоятельство, что деление 5x/x в данном случае выполнить нельзя, так как, мы видели выше, вопрос, выражаемый нашим уравнением, требует, чтобы x = 0, а деление на нуль не выполнимо.

Заметим еще, что и умножение на нуль требует некоторой внимательности: умножая на нуль и два неравных числа, мы получим в результате этих умножений равные произведения, а именно - нули.

Если, например, мы имеем уравнение

x – 3 = 7 – x (его решение: x = 5)

и если кто-либо захочет к нему применить свойство «обе части уравнения можно умножить на одно и тоже число» и умножить обе части на x, то получит:

x 2 – 3x = 7x – x 2 .

После этого может обратить на себя внимание, что все члены уравнения содержат множителя x, из чего можно сделать заключение, что для решения этого уравнения можно взять число нуль, т. е. положить x = 0. И в самом деле, тогда получим:
0 2 – 3 · 0 = 7 · 0 – 0 2 или 0 = 0.

Однако, это решение x = 0, очевидно, не годится для данного уравнения x – 3 = 7 – x; заменяя в нем x нулем, получим явную несообразность: 3 = 7!

«Равенство» - это тема, которую ученики проходят еще в начальной школе. Сопутствует ей также ей «Неравенства». Эти два понятия тесно взаимосвязаны. Кроме того, с ними связывают такие термины, как уравнения, тождества. Итак, что такое равенство?

Понятие равенства

Под этим термином понимают высказывания, в записи которых есть знак «=». Равенства разделяются на верные и неверные. Если в записи вместо = стоит <, >, тогда речь идет о неравенствах. Кстати, первый признак равенства говорит о том, что обе части выражения идентичны по своему результату или записи.

Кроме понятия равенства, в школе изучают также тему «Числовое равенство». Под этим высказыванием понимают два числовых выражения, которые стоят по обе стороны от знака =. К примеру, 2*5+7=17. Обе части записи равны между собой.

В числовых выражениях подобного типа могут использоваться скобки, влияющие на порядок действий. Итак, существует 4 правила, которые следует учесть при вычислении результатов числовых выражений.

1. Если в записи нет скобок, тогда действия выполняются с высшей ступени: III→II→I. Если есть несколько действий одной категории, тогда они выполняются слева направо.
2. Если в записи есть скобки, тогда действие выполняется в скобках, а затем с учетом ступеней. Возможно, в скобках будет несколько действий.
3. Если выражение представлено в виде дроби, тогда вычислять нужно сначала числитель, потом знаменатель, затем числитель делится на знаменатель.
4. Если в записи есть вложенные скобки, тогда вычисляется сначала выражение во внутренних скобках.

Итак, теперь понятно, что такое равенство. В дальнейшем будут рассмотрены понятия уравнения, тождества и способы их вычисления.

Свойства числовых равенств

Что такое равенство? Изучение этого понятия требует знания свойств числовых тождеств. Приведенные ниже текстовые формулы позволяют лучше изучить данную тему. Конечно, эти свойства больше подходят для изучения математики в старших классах.

1. Числовое равенство не будет нарушено, если в обеих его частях прибавить одно и то же число к существующему выражению.

А = В ↔ А + 5 = В + 5

2. Не будет нарушено уравнение, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число или выражение, которые отличны от нуля.

Р = О ↔ Р ∙ 5 = О ∙ 5

Р = О ↔ Р: 5 = О: 5

3. Прибавив к обеим частям тождества одинаковую функцию, которая имеет смысл при любых допустимых значениях переменной, мы получим новое равенство, равносильное первоначальному.

F(X) = Ψ (X) ↔ F(X) + R(X) = Ψ (X) + R(X)

4. Любое слагаемое или выражение можно перенести по другую сторону знака равенства, при этом нужно поменять знаки на противоположные.

Х + 5 = У - 20 ↔ Х = У - 20 - 5 ↔ Х = У - 25

5. Умножив или разделив обе части уравнения на одну и ту же функцию, отличную от нуля и имеющую смысл для каждого значения Х из ОДЗ, мы получим новое уравнение, равносильное первоначальному.

F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) ∙ R(X) = Ψ(X) ∙ R(X)

F(X) = Ψ (X) ↔ F(X) : G(X) = Ψ (X) : G(X)

Приведенные правила в явной степени указывают на принцип равенства, который существует при определенных условиях.

Понятие пропорции

В математике существует такое понятие, как равенство отношений. В этом случае подразумевается определение пропорции. Если разделить А на В, то результатом будет отношение числа А к числу В. Пропорцией называют равенство двух отношений:

Иногда пропорция записывается следующим образом: A: B = C: D. Отсюда вытекает основное свойство пропорции: A * D = D * C , где A и D - крайние члены пропорции, а В и С - средние.

Тождества

Тождеством называют равенство, которое будет верно при всех допустимых значениях тех переменных, которые входят в задание. Тождества могут быть представлены как буквенные или числовые равенства.

Тождественно равными называются выражения, содержащие в обеих частях равенства неизвестную переменную, которая способна приравнять две части одного целого.

Если проводить замены одного выражения другим, которое будет равно ему, тогда речь идет о тождественном преобразовании. В этом случае можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, законами арифметики и прочими тождествами.

Чтобы сократить дробь, нужно провести тождественные преобразования. К примеру, дана дробь. Чтобы получить результат, следует воспользоваться формулами сокращенного умножения, разложением на множители, упрощением выражений и сокращением дробей.

При этом стоит учесть, что данное выражение будет тождественным тогда, когда знаменатель не будет равен 3.

5 способов доказать тождество

Чтобы доказать равенство тождественное, нужно провести преобразование выражений.

I способ

Необходимо провести равносильные преобразования в левой части. В результате получается правая часть, и можно говорить о том, что тождество доказано.

II способ

Все действия по преобразованию выражения происходят в правой части. Итогом проделанных манипуляций является левая часть. Если обе части идентичны, то тождество доказано.

III способ

«Трансформации» происходят в обеих частях выражения. Если в результате получатся две идентичные части, тождество доказано.

IV способ

Из левой части вычитается правая. В результате равносильных преобразований должен получиться нуль. Тогда можно говорить о тождественности выражения.

V способ

Из правой части вычитается левая. Все равносильные преобразования сводятся к тому, чтобы в ответе стоял нуль. Только в таком случае можно говорить о тождественности равенства.

Основные свойства тождеств

В математике зачастую используют свойства равенств, чтобы ускорить процесс вычисления. Благодаря основным алгебраическим тождествам процесс вычисления некоторых выражений займет считанные минуты вместо долгих часов.

• Х + У = У + Х
• Х + (У + С) = (Х + У) + С
• Х + 0 = Х
• Х + (-Х) = 0
• Х ∙ (У + С) = Х∙У + Х∙С
• Х ∙ (У - С) = Х∙У - Х∙С
• (Х + У) ∙ (С + Е) = Х∙С + Х∙Е + У∙С + У∙Е
• Х + (У + С) = Х + У + С
• Х + (У - С) = Х + У - С
• Х - (У + С) = Х - У - С
• Х - (У - С) = Х - У + С
• Х ∙ У = У ∙ Х
• Х ∙ (У ∙ С) = (Х ∙ У) ∙ С
• Х ∙ 1 = Х
• Х ∙ 1/Х = 1, где Х ≠ 0

Формулы сокращенного умножения

По своей сути формулы сокращенного умножения являются равенствами. Они помогают решить множество задач в математике благодаря своей простоте и легкости в обращении.

• (А + В) 2 = А 2 + 2∙А∙В + В 2 - квадрат суммы пары чисел;

• (А - В) 2 = А 2 - 2∙А∙В + В 2 - квадрат разности пары чисел;

• (С + В) ∙ (С - В) = С 2 - В 2 - разность квадратов;

• (А + В) 3 = А 3 + 3∙А 2 ∙В + 3∙А∙В 2 + В 3 - куб суммы;

• (А - В) 3 = А 3 - 3∙А 2 ∙В + 3∙А∙В 2 - В 3 - куб разности;

• (Р + В) ∙ (Р 2 - Р∙В + В 2) = Р 3 + В 3 - сумма кубов;

• (Р - В) ∙ (Р 2 + Р∙В + В 2) = Р 3 - В 3 - разность кубов.

Формулы сокращенного умножения зачастую применяются, если необходимо привести многочлен к привычному виду, упростив его всеми возможными способами. Представленные формулы доказываются просто: достаточно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Уравнения

После изучения вопроса, что такое равенство, можно приступать к следующему пункту: Под уравнением понимается равенство, в котором присутствуют неизвестные величины. Решением уравнения называют нахождение всех значений переменной, при которых обе части всего выражения будут равны. Также встречаются задания, в которых нахождение решений уравнения невозможно. В таком случае говорят, что корней нет.

Как правило, равенства с неизвестными в качестве решения выдают целые числа. Однако возможны случаи, когда корнем являются вектор, функция и другие объекты.

Уравнение является одним из важнейших понятий в математике. Большинство научных и практических задач не позволяют измерить или вычислить какую-либо величину. Поэтому необходимо составлять соотношение, которое удовлетворит все условия поставленной задачи. В процессе составления такого соотношения появляется уравнение или система уравнений.

Обычно решение равенства с неизвестным сводится к преобразованию сложного уравнения и сведению его к простым формам. Необходимо помнить, что преобразования нужно проводить относительно обеих частей, в противном случае на выходе получится неверный результат.

4 способа решить уравнение

Под решением уравнения понимают замену заданного равенства другим, которое равносильно первому. Подобная подмена известна как тождественное преобразование. Чтобы решить уравнение, необходимо воспользоваться одним из способов.

1. Одно выражение заменяется другим, которое в обязательном порядке будет тождественно первому. Пример: (3∙х+3) 2 =15∙х+10. Это выражение можно преобразовать в 9∙х 2 +18∙х+9=15∙х+10.

2. Перенесение членов равенства с неизвестным из одной стороны в другую. В таком случае необходимо правильно менять знаки. Малейшая ошибка сгубит всю проделанную работу. В качестве примера возьмем предыдущий «образец».

9∙х 2 + 12∙х + 4 = 15∙х + 10

9∙х 2 + 12∙х + 4 - 15∙х - 10 = 0

3. Перемножение обеих частей равенства на равное число или выражение, которые не равняются 0. Однако стоит напомнить, что если новое уравнение не будет равносильным равенству до преобразований, тогда количество корней может существенно измениться.

4. Возведение в квадрат обеих частей уравнения. Этот способ просто замечательный, особенно когда в равенстве есть иррациональные выражения, то есть и выражение под ним. Тут есть один нюанс: если возвести уравнение в четную степень, тогда могут появиться посторонние корни, которые исказят суть задания. И если неправильно извлечь корень, тогда смысл вопроса в задаче будет неясен. Пример: │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 и 2) - 7∙х = 35 → уравнение будет решено верно.

Итак, в этой статье упоминаются такие термины, как то уравнения и тождества. Все они происходят от понятия «равенство». Благодаря различного рода равносильным выражениям решение некоторых задач в значительной мере облегчено.